Formules mathématiques et physique chimie.

Thermique

1) Introduction

1.1) Applications du chauffage et de la production de froid

Le chauffage sert industriellement dans différentes applications :

• la cuisson (en agro-alimentaire, dans la fabrication de céramiques, de ferrites,...) ;

• les transformations physiques (sidérurgie, séchage...) ;

• le maintien de bains à température fixe (chimie, électrochimie, action de solvants)

• la stérilisation des aliments ;

2) Conduction

2.1) Quantité de chaleur, flux de chaleur

Transfert d'une certaine quantité de chaleur Q (=énergie) par unité de temps.
Quantité de chaleur Q en joules (J).
Flux de chaleur en W.

lambda ( λ ) :

La conductivité thermique d'un matériau (capacité d'isolation d'un matériau)

La conductivité thermique est une grandeur physique caractérisant le comportement des matériaux lors du transfert thermique par conduction. Cette constante apparaît par exemple dans la loi de Fourier. Elle représente la quantité de chaleur transférée par unité de surface et par une unité de temps sous un gradient de température.

gradient : grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace

Mathématiquement, la conductivité thermique λ peut donc s'écrire comme la somme de deux contributions :

Loi de Fourier 

La constante de proportionnalité λ est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m-1.K-1.s-1 ou, soit des W.m-1.K-1.

• le watt ( W )est l’unité de puissance.
• le mètre ( m )est l’unité de longueur.
• le kelvin ( K )est l’unité de température.

Conductivités thermiques pour divers matériaux :

2.2) Résistance thermique

2.2.1) Définition

Le flux thermiqueest proportionnel :
* à la différence de température
* à la surface S

Le flux thermique est inversement proportionnel à la longueur l.

avec

On définit aussi la résistivité thermique . 

2.2.2) Résistances thermiques en série

La figure 2 représente une association de trois corps de résistances thermiques respectives et. Les trois corps sont traversés par le même flux thermique . La résistance thermique équivalente de l'ensemble est alors . Cela est équivalent à un groupement en série, dans le domaine électrique, à la mise en série de résistances.

2.2.3) Résistances thermiques en parallèle

La figure 3 représente une association de trois corps dont les faces sont soumises aux mêmes température, en revanche, les flux thermiques sont ici différents. La résistance thermique de l'ensemble est égale à . On retrouve la loi d'association des résistances en parallèle des électriciens.

2.2.4) Analogie électrique

Comme on a pu déjà le remarquer, il existe une certaine analogie entre les domaines thermiques et électriques. Nous pouvons préciser cette analogie :

2.2.5) Exemple

La figure 4 représente la coupe d'une fenêtre munie double vitrage. L'épaisseur de chacune des vitres est , la surface est . La température inérieure est supposée égale à et la température extérieure à . On va calculer la puissance perdue à travers cette fenêtre.

a) Si on considère qu'il n'y a pas de lame d'air entre les vitres ()

La résistance thermique du verre est :

Le flux de chaleur est alors :

b) Si l'épaisseur de la lame d'air est égale à

La résistance thermique totale (verre + air) est alors égale à :

Dans ce cas, on peut constater que le flux de chaleur qui traverse la fenêtre (et donc la puissance perdue) est considérablement diminuée. Dans le calcul, nous n'avons toutefois pas tenu compte des phénomènes de convection à l'intérieur du double vitrage d'une part, sur les parois interne et externe d'autre part.

c) Influence du châssis

Nous n'avons non plus pas tenu compte de la chaleur qui pouvait passer à travers le châssis de la fenêtre (représenté en grisé sur la figure 4). Si nous notons la résistance de ce dernier, la résistance thermique totale (double vitrage+châssis) est alors donnée par :

En effet, dans ce cas, le châssis correspond à une résistance thermique placée en parallèle sur les autres résistances thermiques.

3) Convection

3.1) Principe

Le phénomène de convection décrit sur la figure 5 correspond au transfert de chaleur depuis un corps chaud vers un fluide plus froid et en mouvement. Le transfert inverse (depuis un fluide chaud et en mouvement vers un corps plus froid) peut aussi exister.

La quantité de chaleur échangée par unité de temps dépend de plusieurs paramètre :

• la différence de température entre le corps et le fluide ;

• la vitesse du fluide ;

• la capacité thermique massique du fluide ;

• la surface d'échange ;

• l'état de surface ;

• la hauteur du corps.

3.2) Convection naturelle/forcée

Le mouvement du fluide peut être dû à des causes externes au phénomène de convection proprement dit (pompe, ventilateur...). On parle alors de convection forcée.

Même en l'absence de dispositifs externes, on peut toutefois observer des phénomènes de convection. Le mouvement du fluide est alors dû à l'échauffement de ce dernier (dans le cas d'un transfert d'un corps chaud vers un fluide froid) et à sa dilatation. La densité du fluide en contact avec le corps chaud diminuant, la poussée d'Archimède tend à entraîner le fluide vers le haut. En régime permanent, elle s'équilibre avec les forces de frottements qui s'exercent sur le fluide, en particulier celle due au contact fluide/corps solide. On voit alors que l'état de surface du corps et sa position sont importants. Ainsi, les phénomènes de convection naturelle sont bien plus importants pour une plaque disposée verticalement que pour la même plaque horizontale.

3.3) Puissance transmise

La puissance transmise peut être exprimée simplement sous la forme :

où désigne la surface d'échange et la différence de température entre le corps et le fluide.

désigne le coefficient d'échange (en ).

Les ordres de grandeur pour h sont les suivants :

En réalité, dépend de façon complexe des températures et de la surface (notamment de la position horizontale ou verticale). L'expression qui a été données ci-dessus n'est qu'une approximation.

On peut aussi faire intervenir la notion de résistance thermique équivalente aux phénomènes de convection. Cette résistance thermique s'exprime alors :

4) Rayonnement

4.1) Échanges par rayonnement

Si on place un corps de surface S à température T1 dans une enceinte à température T2, on observe des échanges énergétiques sous forme de rayonnements électromagnétiques. Ces échanges existent même en l'absence de convection ou de conduction, c'est-à-dire même s'il n'y a pas d'air dans l'enceinte.

La puissance rayonnée par le corps est égale à :

La puissance absorbée par le corps est égale à :

La puissance totale échangée entre le corps et l'enceinte est alors :

S est la surface du corps (en );

est une constante appelée constante de Stéfan-Boltzman et vaut ;

est une constante sans dimensions appelée émissivité. Elle est comprise entre 0 et 1 et dépend de la surface du corps.